07/12/2008

Le jeu des portes appliqué au jeu des boîtes

Récemment, un collègue m'a soumis cette énigme qui fut apparemment l'objet d'un jeu populaire à la télévision américaine.

Sur le plateau, il y avait 3 portes. Derrière l'une d'entre elle, se cachait le gros lot, une voiture par exemple, tandis que les 2 autres s'ouvraient sur un cadeau ridicule, style un filet garni.
Le principe était que le candidat devait désigner une porte, sans l'ouvrir. L'animateur, qui savait ou se cachait le gros lot, ouvrait alors une mauvaise porte parmi les 2 non choisies par le candidat. Le candidat avait alors le choix d'ouvrir la porte qu'il avait initialement choisie ou de changer et de prendre l'autre qui n'était pas encore ouverte.

Avant, ma manière de jouer aurait été de garder mon choix initial puisque j'avais une chance sur deux de gagner plutot que de changer et de raler dans le cas ou la porte choisie initialement était la bonne.

Mais depuis que j'ai découvert cet article: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-12276.html  mon avis a évidemment changé puisque mes chances doublent (dans ce cas précis) en choisissant l'autre porte.

Les explications dans cet article sont longues et parfois nébuleuses. J'ai d'ailleurs du m'y reprendre à plusieurs fois pour les comprendre et être convaincu. Raison pour lesquelles je tente un résumé avec 100 portes plutot que 3 pour que ce soit plus marquant.

Imaginons donc qu'il y ait 100 portes, une bonne et 99 mauvaises. Lorsque je fais mon premier choix, j'ai une chance sur 100 de trouver la bonne tandis qu'il y a 99 chances sur 100 que j'aie tort et que la bonne porte figure parmi ces 99.
Sachant que l'animateur ouvre 98 mauvaises portes, parmi ces 99 en sachant ou est la bonne, j'ai donc tout intérêt à changer de porte puisque, si la bonne porte n'est pas celle que j'ai choisie, j'ai 99 chances sur 100 de trouver la bonne.
L'erreur est de penser qu'au moment du choix, lorsqu'il ne reste plus que 2 portes, j'ai une chance sur 2 alors qu'il faut tenir compte des portes déjà ouvertes en toute connaissance de cause (ce n'est pas l'effet du hasard, l'animateur sachant qu'elles étaient mauvaises).

Ce qui m'amène au jeu des boites. Il s'agit en fait du jeu télévisé d'Arthur qui s'appelle 'A prendre ou à laisser'. Il met aux prises 24 candidats qui sont en possession chacun d'une boite contenant un montant inconnu. Ce dernier peut être ridicule ou gigantesque (entre 0,01 € et 1 000 000 € pour la version française). Un candidat est sélectionné et il doit éliminer les autres boîtes. Il reçoit régulièrement des appels du banquier qui lui propose soit d’échanger sa boite avec une autre, soit d’arrêter le jeu et de repartir avec un montant fixé par le banquier.
L'échange pouvait survenir à tout moment y compris en toute fin de jeu, alors qu'il ne restait que 2 boites.

Quand cela arrivait, je maudissais le candidat qui choisissait l'échange et s'il perdait, je me disais que c'était bien fait pour lui car ses regrets étaient plus grands de savoir que la bonne boite était en sa possession.

Et c'est la que j'avais tout faux puisqu'en fonction de l'explication concernant le jeu des portes, il avait 1 chance sur 24 pour que la plus grosse somme soit dans sa boite et 23 chances pour que ce soit la plus petite. Il avait donc tout intérêt de demander l'échange.

Maintenant, je dois reconnaitre que si l'échange était proposé plus tot dans le jeu, alors qu'il ne restait que 4 boîte, par exemple, le choix ne pouvait être aussi mathématique puisque si le candidat n'avait effectivement qu'une chance sur 24 d'avoir choisi la bonne boîte et que donc il y avait 23 chances sur 24 pour que ce ne soit pas celle la, encore fallait-il, en cas d'échange, choisir la bonne parmi les 3 restantes. La règle mathématique étant alors "légèrement" plus compliquée pour déterminer le pourcentage de chance d'améliorer ses gains... mais la n'est pas le but de mon article.

En attendant, vous aurez bientôt tout loisir de voir si les lois statistiques et mathématiques peuvent s'appliquer à ce jeu. En effet, alors que j'avais lu récemment (sur le site de Morandini je crois) que 'A prendre ou à laisser' pourrait revenir à l'antenne, je viens d'en avoir confirmation: ma femme regarde en ce moment TF1 qui vient de passer une pastille annonçant le retour du jeu.